這幾天在想一個數學圖論的問題，就是假設edge(邊)的length(長度)為1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 ...
也就是edge為無限多個。
現在我們要求Hamiltonian cycle 的length((or Hamiltonian circuit) is a cycle in an undirected graph which visits each vertex exactly once and also returns to the starting vertex.)
假設所形成的graph是一個cycle，那麼其Hamiltonian cycle的length，顯然就是無窮等比級數：
1 + 0.1 + 0.01 + ... = 1/(1-0.1)=1/(0.9)=10/9
現在考慮同樣問題，但圖形換成complete graph，
那麼假設vertex(點)的數目為n，edge數為E，
則 n(n-1)/2 = E
即 n^2 - n = 2E
得到 n^2 - n - 2E = 0
所以點數 n = (1+ sqrt(1- 4*(1)(-2E)))/2 (另一根為負，不合)
n = (1 + sqrt(1 + 8E))/2
so, if n屬於 integer, then sqrt(1+8E) 屬於 odd number
因為是complete graph，所以對於每一個vertex有 (1 + sqrt(1 + 8E))/2 - 1 個邊，
也就是有(sqrt(1 + 8E) - 1)/2個邊，
現在假設 某點 x 為 起點，
連出去的第一個邊長為 1 ，剩下與x相鄰的點 y2, y3, y4, ... yn，
其中y2連到y3的邊長為0.1，y3連到y4的邊長為0.01，
之後依此類推，直到yn連到x，
則其length長為 1 + (0.1( 1 - (1/10)^( (sqrt(1 + 8E) - 1)/2)) ( 1 - (1/ 10) )
因為E為無限多個，所以略小於
1 + (0.1)/(9/10) = 1 + 1/9 = (10/9)
同樣的道理，可以假設某點x連出去的邊長為 0.0001，
之後算其length長為 0.0001 + (0.00001( 1 - (1/10)^( (sqrt(1 + 8E) - 1)/2)) ( 1 - (1/ 10) )
得到略小於以下的結果：
0.0001 + (0.00001)/(9/10) = 0.0001 + 1/90000 小於 10/9，但大於 0
推測此問題再complete graph上求 Hamiltonian cycle時，
其length L 為 0 < L < 10/9
而對於所有圖形而言，因為每一邊長皆大於0，所以其length L為
0 < L =< 10/9
P.S. 如有錯誤，還請指教
有些人認為數學是一種語言，
小混混數學(二)：語言有模糊的空間，
先不管數學是否有可能有模糊的空間，
我們先來看看，程式語言，是否有可能有模糊的空間？
一般來想，程式語言目前在電腦上都可轉換為machine code，
出來的program，是唯一的0與1的組合，並沒模糊的空間。
但是小混混數學就是與眾不同啊…
小混混：「我們從執行出來的結果分析，
電腦有時因為pointer的誤用或多個process的同時執行，
造成執行結果並不唯一。換句話說，你的作業系統今天都不會當，並不代表明天都不當」
當然，program有錯，只要找出錯誤的例子，我們可以清楚的找出哪兒出錯了，
可能是program、OS…甚至是硬体錯了，
當然還有一種可能就是量子力學或未知的物理學所造成的難得一見錯誤。
數學的情況當然比programming language又更複雜，
說數學有模糊的空間，大概沒幾個人能認同，
但是有些有趣的歷史，如非歐幾里德幾何的誕生，倒是滿神奇的。
既然是小混混數學單元，
那麼就來模擬一下，數學老師來教小混混吧
Topic: 1=0.99999999999999999999...
老師：「證明 1=0.99999...」
老師：「首先，1/9=0.11111...」(OS:接下來就1=0.9999....)
小混混：「老師，這個表示法不好，讓我們用1/9(10進位)=0.1(九進位)好了。
老師你看，這樣就不會有1無限多個了，所以這才是合理的表示法啊。」
老師：「…」(OS:之後就…1=1…冏)
John Sickels在個人網站上預言，王建民今年將再拿一勝，以17勝7敗防禦率3.77結束球季，接著John Sickels也預言阿民明年勝場降低，不過三振數將首度破百，而阿民20勝的夢想要等到2010年，而且那一年也是取得自由球員資格前最後一個球季。
John Sickels也預言，建仔2014年離開洋基王建民職棒生涯的巔峰不過到了2013年就會開始走下坡，繳出5勝12敗的成績，在2014年離開洋基隊，2015投效老虎隊，最後將在2017年結束大聯盟的選手生涯，王建民一共+會在大聯盟出賽13個球季，拿下126勝94敗防禦率4.10的成績。
…以上資料摘錄自奇摩新聞…不曉得準不準，先將它copy下來，
以後自有分曉。
最近在想一個問題，
令問題X為，求取求解任一考卷上decidable的是非題的程序，
X 是否在polynomial time能reduce to SAT(satifiability) problem？
我假設，考卷上的是非題目其中一題，是有限個字的，為n個字。
且所用的字，可以在一本符號大全的書上找到，
而這本書有X'個符號，(包含空字元符號)，這我們把題目上的每一個字用logX'取上高斯的bit數來表示，
令bit數為K。則我們可以設計一SAT Algorithm把題目每一個字都輸入下去，看是否satisfy。
總共是輸入nk個bit看是否satisfy，若是satisfy 則 輸出為圈，否則輸出為叉.
所以求解任一考卷上的(decidable)是非題的問題應該是能在polynomial time reduce to SAT problem的!
再想想，若不是是非題的情況，
則假設答案是有限個字所能表示的情況，令最多可用i個字表示，
因為所選的符號書包含空字元符號，所以答案實際上為j個字<=i,
而答案是什麼，可想成答案中每一個字元的第y個bit是否為1 ，(y有i*k個)，
若satisfy則為1。所以要run SAT i*k次。
PS. any NP problem reduce to SAT is trivial, but SAT reduce to NP problem X, X is called NP-Complete.
1. Install Lean Environment: https://lean-lang.org/install/ 試著完Step one, two, three 2. 在VS code下，建一新的project: 取名Hello_World 3. 嘗試執行Main.lea...
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