這幾天在想一個數學圖論的問題，就是假設edge(邊)的length(長度)為1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 ...
也就是edge為無限多個。
現在我們要求Hamiltonian cycle 的length((or Hamiltonian circuit) is a cycle in an undirected graph which visits each vertex exactly once and also returns to the starting vertex.)
假設所形成的graph是一個cycle，那麼其Hamiltonian cycle的length，顯然就是無窮等比級數：
1 + 0.1 + 0.01 + ... = 1/(1-0.1)=1/(0.9)=10/9
現在考慮同樣問題，但圖形換成complete graph，
那麼假設vertex(點)的數目為n，edge數為E，
則 n(n-1)/2 = E
即 n^2 - n = 2E
得到 n^2 - n - 2E = 0
所以點數 n = (1+ sqrt(1- 4*(1)(-2E)))/2 (另一根為負，不合)
n = (1 + sqrt(1 + 8E))/2
so, if n屬於 integer, then sqrt(1+8E) 屬於 odd number
因為是complete graph，所以對於每一個vertex有 (1 + sqrt(1 + 8E))/2 - 1 個邊，
也就是有(sqrt(1 + 8E) - 1)/2個邊，
現在假設 某點 x 為 起點，
連出去的第一個邊長為 1 ，剩下與x相鄰的點 y2, y3, y4, ... yn，
其中y2連到y3的邊長為0.1，y3連到y4的邊長為0.01，
之後依此類推，直到yn連到x，
則其length長為 1 + (0.1( 1 - (1/10)^( (sqrt(1 + 8E) - 1)/2)) ( 1 - (1/ 10) )
因為E為無限多個，所以略小於
1 + (0.1)/(9/10) = 1 + 1/9 = (10/9)
同樣的道理，可以假設某點x連出去的邊長為 0.0001，
之後算其length長為 0.0001 + (0.00001( 1 - (1/10)^( (sqrt(1 + 8E) - 1)/2)) ( 1 - (1/ 10) )
得到略小於以下的結果：
0.0001 + (0.00001)/(9/10) = 0.0001 + 1/90000 小於 10/9，但大於 0
推測此問題再complete graph上求 Hamiltonian cycle時，
其length L 為 0 < L < 10/9
而對於所有圖形而言，因為每一邊長皆大於0，所以其length L為
0 < L =< 10/9
P.S. 如有錯誤，還請指教
